Question

△ABC中内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且2acosC=2b-c．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）如果a=1，求b+c的取值范围．

Answer 1

考点：正弦定理,余弦定理

专题：

分析：（Ⅰ）利用正弦定理以及两角和与差的三角函数，化简方程，即可求角A的余弦值，得到A的值；
（Ⅱ）利用正弦定理区别b，c的值，b+c为B的正弦函数，通过三角函数值域，求出b+c的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）2acosC=2b-c，由正弦定理可得：sinAcosC+

1

2

sinC=sinB，
sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC．∴

1

2

sinC=cosAsinC，∵sinC≠0，
∴cosA=

1

2

，
角A的大小为：

π

3

；
（Ⅱ）由正弦定理可得：b=

asinB

sinA

=

2sinB

3

，c=

2

3

sinC，
∴b+c=

2

3

(sinB+sinC)=

2

3

[sinB+sin(A+B)]=2(

3

2

sinB+

1

2

cosB)=2sin(B+

π

6

)，
∵A=

π

3

∴B∈(0，

2π

3

)，
∴B+

π

6

∈(

π

6

，

5π

6

)，
∴sin(B+

π

6

)∈(

1

2

，1]，
∴b+c的取值范围：（1，2]．

点评：本题考查正弦定理的应用，三角函数的化简求值，函数的值域的应用．