Question

在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足cos²A-cos²B=cos（

π

6

-A）cos（

π

6

+A）．
（Ⅰ）求角B的值；
（Ⅱ）若b=1，且b＜a，求a+c的取值范围．

Answer 1

考点：余弦定理,三角函数中的恒等变换应用

专题：解三角形

分析：（Ⅰ）由已知化简可得cos²B=

1

4

，由题意可得B；
（Ⅱ）由正弦定理可得a=

2 3

3

sinA，c=

2 3

3

sinC，可得a+c=

2 3

3

（sinA+sinC），化简由A的范围可得．

解答： 解：（Ⅰ）由已知可得cos²A-cos²B=cos（

π

6

-A）cos（

π

6

+A）．
=（

3

2

cosA+

1

2

sinA）（

3

2

cosA-

1

2

sinA）=

3

4

cos²A-

1

4

sin²A
∴cos²B=cos²A-

3

4

cos²A+

1

4

sin²A=

1

4

，
∴cosB=

1

2

，B=

π

3

；
（Ⅱ）由正弦定理可得

a

sinA

=

c

sinC

=

b

sinB

=

2 3

3

，
∴a=

2 3

3

sinA，c=

2 3

3

sinC，
∴a+c=

2 3

3

（sinA+sinC）=

2 3

3

[sinA+sin（

2π

3

-A）]
=

2 3

3

[sinA+

3

2

cosA+

1

2

sinA]=2sin（A+

π

6

），
∵B=

π

3

，C=

2π

3

-A＜

π

2

，∴

π

6

＜A＜

π

2

，
∴

π

3

＜A+

π

6

＜

2π

3

，∴

3

2

＜sin（A+

π

6

）≤1，
∴

3

＜2sin（A+

π

6

）≤2
∴a+c的取值范围为（

3

，2]

点评：本题考查解三角形，涉及余弦定理和三角函数的值域，属中档题．