Question

若定义在实数集R上的偶函数f（x）满足f（x）＞0，f（x+2）=

1

f(x)

，对任意x∈R恒成立，则f（2015）=（　　）

• A、4
• B、3
• C、2
• D、1

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：由f（x）＞0，f（x+2）=

1

f(x)

，对可得函数的周期是4，然后利用函数的奇偶性和周期性即可求值．

解答： 解：∵f（x）＞0，f（x+2）=

1

f(x)

，
∴f（x+4）=

1

f(x+2)

=f（x），
∴函数f（x）的周期是4．
∴f（2015）=f（504×4-1）=f（-1），
∵函数f（x）为偶函数，
∴f（-1）=f（1），
当x=-1时，f（-1+2）=f（1）=

1

f(-1)

=

1

f(1)

，
∴f²（1）=1，即f（1）=1，
∴f（2015）=f（1）=1．
故选：D．

点评：本题主要考查函数值的计算，利用条件求出函数的周期性，利用函数的周期性和奇偶性的性质是解决本题的关键，综合考查了函数性质的综合应用．