Question

（理）直平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长均为2，∠BAD=60°，则对角线A₁C与侧面D₁C₁CD所成角的正弦值为（　　）

• A、

  3

  4

• B、

  3

  3

• C、

  3

  2

• D、

  1

  2

Answer 1

考点：直线与平面所成的角

专题：空间角

分析：作A₁E⊥C₁D₁，垂足为E，则可得对角线A₁C与侧面DCC₁D₁所成角，从而可求对角线A₁C与侧面DCC₁D₁所成角的正弦值．

解答： 解：作A₁E⊥C₁D₁，垂足为E，连CE，A₁E，A₁C．
∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是直平行六面体
∴A₁E⊥平面DCC₁D₁，
∴∠A₁CE就是对角线A₁C与侧面DCC₁D₁所成角
∵CE?平面A₁B₁C₁D₁，
∴A₁E⊥CE
∵棱长都为2的直平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，∠BAD=60°，
∴A₁E=2sin60°=

3

，D₁E=1，
∴A₁C₁=2

3

，∴A₁C=4，
∴CE=

13

，
在Rt△A₁EC中，sin∠A₁CE=

A1E

A1C

=

3

4

．
故选：A．

点评：本题重点考查线面角，解题的关键是利用线面垂直，作出线面角，属于中档题．