Question

已知函数y=f（x）是定义域为R，且为单调函数，并满足f（x+y）=f（x）•f（y），f（1）=2．
①求f（2）；
②解不等式f（-x）•f（3-x）≥4．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：①令x=y=1时，由条件可求出f（2）；②由条件得，f（-x）•f（3-x）=f（3-2x），再由函数的单调性，即可得到3-2x≥2，解出即可．

解答： 解：①∵f（x+y）=f（x）•f（y），f（1）=2．
∴令x=y=1时，则f（2）=f（1）•f（1）=4．
②由题意可得f（-x）•f（3-x）=f（3-2x），
由于函数f（x）为单调函数，f（1）=2，f（2）=4．
则函数为增函数，
∴f（3-2x）≥f（2），
即3-2x≥2，
∴x≤

1

2

．
∴原不等式的解集为（-∞，

1

2

]．

点评：本题考查抽象函数及应用，考查抽象函数的常用方法：赋值法，同时考查函数的单调性和应用，属于中档题．