Question

已知f（x）=3^x，并且f（a+2）=18，g（x）=3^ax-4^x（a∈R）．
（1）求函数g（x）的解析式；
（2）求函数g（x）在[-1，1]上的值域．

Answer 1

考点：函数的值域,函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由已知中f（x）=3^x，并且f（a+2）=18，可得3^a=2，进而得到函数g（x）的解析式；
（2）令t=2^x，则y=g（x）=2^x-4^x=t-t²=-（t-

1

2

）²+

1

4

，t∈[

1

2

，2]，结合二次函数的图象和性质，可得函数g（x）在[-1，1]上的值域．

解答： 解：（1）∵f（a+2）=18，f（x）=3^x，
∴3^a+2=18，
∴3^a=2，
∴g（x）=（3^a）^x-4^x=2^x-4^x．
（2）令t=2^x，
由x∈[-1，1]得：t∈[

1

2

，2]，
则y=g（x）=2^x-4^x=t-t²=-（t-

1

2

）²+

1

4

，t∈[

1

2

，2]，
故当t=

1

2

，即x=-1时，函数g（x）取最大值

1

4

，
当t=2，即x=1时，函数g（x）取最小值-2，
故函数g（x）在[-1，1]上的值域为[-2，

1

4

]．

点评：本题考查的知识点是函数的值域，函数解析式的求法，熟练掌握指数的运算性质，并由此求出函数g（x）的解析式，是解答的关键．