Question

已知f（x）=

x2

1+x2

（x∈R）
①若a≠0，求证：f（a）+f（

1

a

）=1；
②求f（

1

2010

）+f（

1

2009

）+…+f（

1

2

）+f（1）+f（2）+…+f（2009）+f（2010）的值．

Answer 1

考点：函数与方程的综合运用

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：①利用f（x）=

x2

1+x2

，代入计算，即可证明结论；
②利用f（a）+f（

1

a

）=1，即可求得结论．

解答： ①证明：∵f(a)=

a2

1+a2

，f(

1

a

)=

( 1 a )2

1+( 1 a )2

=

1

1+a2

，
∴f（a）+f（

1

a

）=1
②解：∵f（a）+f（

1

a

）=1
∴f（

1

2010

）+f（

1

2009

）+…+f（

1

2

）+f（1）+f（2）+…+f（2009）+f（2010）=2009+f(1)=

4019

2

点评：本题考查函数的性质，考查学生的计算能力，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．