Question

16．如图，多面体ABCDE中，AB=AC，平面BCDE⊥平面ABC，BE∥CD，CD⊥BC，BE=1，BC=2，CD=3，M为BC的中点．
（Ⅰ）若N是棱AE上的动点，求证：DE⊥MN；
（Ⅱ）若平面ADE与平面ABC所成锐二面角为60°，求棱AB的长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连结EM、AM、DM，推导出AM⊥DE，DE⊥EM，从而DE平面AEM，由此能证明DE⊥MN．
（Ⅱ）取DE的中点P，建立空间直角坐标系M-xyz，利用向量法能求出结果．

解答 证明：（Ⅰ）连结EM、AM、DM，
∵AB=AC，且M为BC的中点，∴AM⊥BC，
∵平面BCDE⊥平面ABC，∴AM⊥平面BCDE，∴AM⊥DE，
∵在直角梯形BCDE中，BE=1，BC=2，CD=3，
∴△DEM中，DE=2$\sqrt{2}$，EM=$\sqrt{2}$，DM=$\sqrt{10}$，
∴DE²+EM²=DM²，∴DE⊥EM，
又AM∩EM=M，∴DE⊥平面AEM，
∵MN?平面AEM，∴DE⊥MN．
解：（Ⅱ）取DE的中点P，则PM∥BE，
∵BE⊥BC，∴PM⊥BC，由（1）知，AM⊥平面BCDE，
∴MB、MA、MP两两垂直，如图，建立空间直角坐标系M-xyz，
设AM=t，（t＞0），则A（0，t，0），D（-1，0，3），E（1，0，1），
∴$\overrightarrow{AD}$=（-1，-t，3），$\overrightarrow{DE}$=（2，0，-2），
设平面ADE的一个法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{m}=-x-ty+3z=0}\\{\overrightarrow{DE}•\overrightarrow{m}=2x-2z=0}\end{array}\right.$，令x=t，则$\overrightarrow{m}$=（t，2，t），
∵平面ABC的一个法向量$\overrightarrow{n}$=（0，0，1），
∵二面角A-DE-B为60°，
∴|cos60°|=|cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$|=$\frac{|t|}{\sqrt{2{t}^{2}+1}}$，
解得t=$\sqrt{2}$，此时AB=$\sqrt{3}$．

点评 本题考查线线垂直的证明，考查二面角、空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想，考查创新意识、应用意识，是中档题．