Question

12．已知函数$f（x）=tan（x+\frac{π}{4}）$．
（Ⅰ）求f（x）的定义域；
（Ⅱ）设β∈（0，π），且$f（β）=2cos（β-\frac{π}{4}）$，求β的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由$x+\frac{π}{4}≠kπ+\frac{π}{2}$，得$x≠kπ+\frac{π}{4}$，k∈Z，可得f（x）的定义域；
（Ⅱ）设β∈（0，π），且$f（β）=2cos（β-\frac{π}{4}）$，整理得$sin（β+\frac{π}{4}）•[2cos（β+\frac{π}{4}）-1]=0$，即可求β的值．

解答 解：（Ⅰ）由$x+\frac{π}{4}≠kπ+\frac{π}{2}$，得$x≠kπ+\frac{π}{4}$，k∈Z．[（3分）]
所以 函数f（x）的定义域是$\{x|x≠kπ+\frac{π}{4}，k∈{Z}\}$．[（4分）]
（Ⅱ）依题意，得$tan（β+\frac{π}{4}）=2cos（β-\frac{π}{4}）$．[（5分）]
所以$\frac{{sin（β+\frac{π}{4}）}}{{cos（β+\frac{π}{4}）}}=2sin（β+\frac{π}{4}）$，[（7分）]
整理得$sin（β+\frac{π}{4}）•[2cos（β+\frac{π}{4}）-1]=0$，[（8分）]
所以$sin（β+\frac{π}{4}）=0$，或$cos（β+\frac{π}{4}）=\frac{1}{2}$．[（10分）]
因为 β∈（0，π），所以$β+\frac{π}{4}∈（\frac{π}{4}\;，\frac{5π}{4}\;）$，[（11分）]
由$sin（β+\frac{π}{4}）=0$，得$β+\frac{π}{4}=π$，$β=\frac{3π}{4}$；[（12分）]
由$cos（β+\frac{π}{4}）=\frac{1}{2}$，得$β+\frac{π}{4}=\frac{π}{3}$，$β=\frac{π}{12}$．
所以$β=\frac{π}{12}$，或$β=\frac{3π}{4}$．[（13分）]

点评 本题考查正切函数的定义域，考查特殊角三角函数值的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．