Question

3．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{a}（x+2），}&{x≥2}\\{{2}^{1-x}，}&{x＜2}\end{array}\right.$（a＞0且a≠1），若f（6）+f（-1）=7，函数y=f（x）-b仅有一个零点，则实数b的取值范围为（　　）

• A． [$\frac{1}{2}$，2]
• B． （$\frac{1}{2}$，2]
• C． [$\frac{1}{2}$，2）
• D． （$\frac{1}{2}$，2）

Answer 1

分析 由已知函数解析式结合f（6）+f（-1）=7求得a值，把函数y=f（x）-b仅有一个零点，即y=f（x）与y=b的图象只有一个交点，作出函数图象，数形结合得答案．

解答 解：∵f（6）+f（-1）=7，∴log_a8+4=7，即log_a8=3，∴a=2．
则$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{2}（x+2），x≥2}\\{{2}^{1-x}，x＜2}\end{array}\right.$，
函数y=f（x）-b仅有一个零点，即y=f（x）与y=b的图象只有一个交点．
作出函数图象如图：
由图象可得，实数b的取值范围为：（$\frac{1}{2}$，2）．
故选：D．

点评 本题考查函数零点的判定定理，考查数学转化思想方法和数形结合的解题思想方法，是中档题．