Question

11．如图，已知双曲线C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，O为坐标原点，以A为圆心的圆与双曲线C的某渐近线交于两点P，Q，若∠PAQ=$\frac{π}{3}$，且$|{\overrightarrow{OQ}}|=3|{\overrightarrow{OP}}$|，则双曲线C的离心率为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{3}}}{4}$
• B． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{7}}}{4}$
• D． $\frac{{\sqrt{7}}}{2}$

Answer 1

分析 过A作AB⊥PQ，设圆A半径为r，三角形APQ是等边三角形，用r表示出OB，AB计算渐近线的斜率，从而得出a，b的关系得出离心率．

解答 解：∵∠PAQ=$\frac{π}{3}$，AP=AQ，
∴△PAQ是等边三角形，
设圆A的半径为r，
过A作AB⊥PQ，垂足为B，则B为PQ的中点，
∴PB=$\frac{1}{2}$r，AB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$r，
∵OQ=3OP，∴OB=2OP=r，
∴tan∠AOB=$\frac{AB}{OB}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
又渐近线方程为y=$\frac{b}{a}x$，
∴$\frac{b}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，即b=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}{a}$=$\frac{\sqrt{7}}{2}$，
解法二：由于双曲线的离心率e＞1，排除A，B，C，
故选D．

点评 本题考查了双曲线的性质，属于中档题．