Question

2．如图，矩形ABCD的边AB=8，BC=4，以CD为直径在矩形的外部作一半圆，圆心为O，过CD上一点N作AB的垂线交半圆弧于P，交AB于Q，M是曲线PDA上一动点．
（1）设∠POC=30°，若PM=QM，求△PMQ的面积；
（2）求△PMQ面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）由已知及三角函数的定义可求PN，ON的值，由于PN＜NQ，可求△PMQ边PQ上的高为$4+2\sqrt{3}$，利用三角形面积公式即可计算得解．
（2）设∠POC=θ，$θ∈[0，\frac{π}{2}]$，则PN=4sinθ，ON=4cosθ，由三角形面积公式可求S_△PMQ=8（1+sinθ+cosθ+sinθcosθ），令sinθ+cosθ=t，$t=\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）∈[1，\sqrt{2}]$，可得${S_{△PMQ}}=8（1+t+\frac{{{t^2}-1}}{2}）=4{（t+1）^2}$，由二次函数的图象和性质可求△PMQ面积的最大值．

解答 （本题满分16分）
解：（1）在直角△OPN中，因为∠PON=30°，OP=4，
所以PN=2，$ON=2\sqrt{3}$，
因为PN＜NQ，
所以点M在线段AD上，
所以△PMQ边PQ上的高为$4+2\sqrt{3}$，
所以${S_{△PMQ}}=\frac{1}{2}×（4+2）×（4+2\sqrt{3}）=12+6\sqrt{3}$．…（7分）
（2）设∠POC=θ，$θ∈[0，\frac{π}{2}]$，则PN=4sinθ，ON=4cosθ，
设M到PQ的距离为h，则h≤DN=4+4cosθ，
所以${S_{△PMQ}}=\frac{1}{2}×（4+4sinθ）（4+4cosθ）=8（1+sinθ+cosθ+sinθcosθ）$，
令sinθ+cosθ=t，$t=\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）∈[1，\sqrt{2}]$，
则${S_{△PMQ}}=8（1+t+\frac{{{t^2}-1}}{2}）=4{（t+1）^2}$，
当$t=\sqrt{2}$即$θ=\frac{π}{4}$，且点M在线段AD上时，△PMQ面积取得最大值$12+8\sqrt{2}$．…（16分）

点评 本题主要考查了三角函数的定义，三角形面积公式，二次函数的图象和性质在解三角形中的应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题．