Question

17．已知等比数列{a_n}的首项为$\frac{3}{2}$，公比为-$\frac{1}{2}$，其前n项和为S_n，若对任意的n∈N^*，都有S_n-$\frac{1}{{S}_{n}}$∈[s，t]，则t-s的最小值为$\frac{17}{12}$．

Answer 1

分析 根据等比数列的求和公式求出S_n，分n为奇数或偶数计算出S_n-$\frac{1}{{S}_{n}}$，即可求出

解答 解：∵等比数列{a_n}的首项为$\frac{3}{2}$，公比为-$\frac{1}{2}$，
其前n项和为S_n=$\frac{\frac{3}{2}[1-（-\frac{1}{2}）^{n}]}{1-（-\frac{1}{2}）}$=1-（-$\frac{1}{2}$）ⁿ=$\left\{\begin{array}{l}{1+\frac{1}{{2}^{n}}，n为奇数}\\{1-\frac{1}{{2}^{n}}，n为偶数}\end{array}\right.$，
当n为奇数时，S_n随着n的增大而减少，1＜S_n≤S₁=$\frac{3}{2}$，
故S_n-$\frac{1}{{S}_{n}}$∈（0，$\frac{5}{6}$]
当n为偶数时，S_n随着n的增大而增大，1＞S_n≥S₂=$\frac{3}{4}$，
故S_n-$\frac{1}{{S}_{n}}$∈[-$\frac{7}{12}$，0），
∵对任意的n∈N^*，都有S_n-$\frac{1}{{S}_{n}}$∈[s，t]，则t-s的最小值为$\frac{5}{6}$-（-$\frac{7}{12}$）=$\frac{17}{12}$，
故答案为：$\frac{17}{12}$

点评 本题考查了等比数列的求和公式，以及数列的函数的特征，属于中档题