Question

7．已知函数f（x）=x²+ax+b（a、b∈R）在区间[0，1]上有零点，则ab的最大值是$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 对判别式△和在区间[0，1]上的零点个数进行讨论得出ab的最值．

解答 解：∵函数f（x）=x²+ax+b（a、b∈R）在区间[0，1]上有零点，
∴△=a²-4b≥0，
（1）若△=0，即b=$\frac{{a}^{2}}{4}$时，f（x）的零点为x=-$\frac{a}{2}$，
∴0≤-$\frac{a}{2}$≤1，即-2≤a≤0，
∴ab=$\frac{{a}^{3}}{4}$，
∴当a=0时，ab取得最大值0；
（2）若△＞0，即b＜$\frac{{a}^{2}}{4}$，
①若函数f（x）=x²+ax+b（a、b∈R）在区间[0，1]上有一个零点，则f（0）•f（1）≤0，
∴b（1+a+b）≤0，
即b+b²+ab≤0，
∴ab≤-b²-b=-（b+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{4}$，
∴ab的最大值是$\frac{1}{4}$；
②若函数f（x）=x²+ax+b（a、b∈R）在区间[0，1]上有两个零点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{△={a}^{2}-4b＞0}\\{f（0）=b≥0}\\{f（1）=1+a+b≥0}\\{0≤-\frac{a}{2}≤1}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}＞4b}\\{b≥0}\\{a+b≥-1}\\{-2≤a≤0}\end{array}\right.$
显然ab≤0，
综上，ab的最大值为$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查了二次函数的性质，分类讨论思想，属于中档题．