Question

已知椭圆M的对称轴为坐标轴，且圆x²+y²+2

2

y=0的圆心为椭圆M的一个焦点，又点A（1，

2

）在椭圆M上．
（1）求椭圆M的方程；
（2）已知直线l的斜率为

2

，若直线l与椭圆M交于B、C两点，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由圆心坐标易得c=

2

，于是可设椭圆方程为

y2

a2

+

x2

a2-2

=1，由点A（1，

2

）在椭圆M上，得

2

a2

+

1

a2-2

=1，解出即可；
（2）设直线l的方程为y=

2

x+m，由

y= 2 x+m y2 4 + x2 2 =1

，得4x2+2

2

mx+m2-4=0，由△＞0可得m范围，设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），利用弦长公式可表示|BC|，由点到直线的距离公式可表示点A到l的距离d，利用三角形面积公式及二次函数性可求面积最大值；

解答： 解：（1）由已知知圆的圆心为（0，-

2

），则c=

2

，
∴可设椭圆方程为

y2

a2

+

x2

a2-2

=1，
又点A（1，

2

）在椭圆M上，
∴

2

a2

+

1

a2-2

=1，解得a²=4，
∴椭圆M的方程为

y2

4

+

x2

2

=1；
（2）设直线l的方程为y=

2

x+m，
由

y= 2 x+m y2 4 + x2 2 =1

，得4x2+2

2

mx+m2-4=0，
则△=8m²-16（m²-4）＞0，得m²＜8，
设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
则x1+x2=-

2

2

m，x1x2=

m2-4

4

，
∴|BC|=

3

•

(- 2 2 m)2-4• m2-4 4

=

3

•

4- 1 2 m2

，
点A到直线l的距离d=

|m|

3

，
∴SABC=

1

2

•|BC|d=

1

2

•

3

•

4- 1 2 m2

•

|m|

3

=

1

2

•

- 1 2 (m2-4)2+8

，
又m²＜8，
∴当m²=4，即m=±2时S_△ABC取得最大值

2

．

点评：本题考查椭圆的方程、性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生运算求解能力，韦达定理、弦长公式是常用知识点，要熟练掌握．