Question

18．已知F₁，F₂是双曲线C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0$，b＞0）的左、右焦点，若直线$y=\sqrt{3}x$与双曲线C交于P、Q两点，且四边形PF₁QF₂是矩形，则双曲线的离心率为（　　）

• A． $5-2\sqrt{5}$
• B． $5+2\sqrt{5}$
• C． $\sqrt{3}+1$
• D． $\sqrt{3}-1$

Answer 1

分析 由题意，矩形的对角线长相等，由此建立方程，找出a，c的关系，即可求出双曲线的离心率．

解答 解：由题意，矩形的对角线长相等，
y=$\sqrt{3}$x代入$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0$，b＞0），
可得x=±$\sqrt{\frac{{a}^{2}{b}^{2}}{{b}^{2}-3{a}^{2}}}$，y=±$\sqrt{3}$•$\sqrt{\frac{{a}^{2}{b}^{2}}{{b}^{2}-3{a}^{2}}}$，
∴$\frac{4{a}^{2}{b}^{2}}{{b}^{2}-3{a}^{2}}$=c²，
∴4a²b²=（b²-3a²）c²，
∴4a²（c²-a²）=（c²-4a²）c²，
∴e⁴-8e²+4=0，
∵e＞1，∴e²=4+2$\sqrt{3}$，
∴e=$\sqrt{3}$+1．
故选：C．

点评 本题考查双曲线的离心率，考查矩形的性质，确定a，c的关系是关键，属于中档题．