Question

13．已知数列{a_n}与{b_n}满足a_n+1-a_n=2（b_n+1-b_n），n∈N₊，b_n=2n-1，且a₁=2．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设${c_n}=\frac{{{a_n}^n}}{{{b_n}^{n-1}}}$，T_n为数列{c_n}的前n项和，求T_n．

Answer 1

分析 （I）计算a_n+1-a_n=4可得{a_n}是以2为首项，4为公差的等差数列，从而得出通项公式；
（II）计算得c_n=（2n-1）•2ⁿ，使用错位相减法求出T_n．

解答 解：（Ⅰ）∵b_n=2n-1，∴b_n+1-b_n=2n+1-2n+1=2，
∴a_n+1-a_n=2（b_n+1-b_n）=4，
∴{a_n}是以a₁=2为首项，以4为公差的等差数列，
∴a_n=2+4（n-1）=4n-2．
（Ⅱ）${c_n}=\frac{{{a_n}^n}}{{{b_n}^{n-1}}}=\frac{{{{（4n-2）}^n}}}{{{{（2n-1）}^{n-1}}}}=（2n-1）•{2^n}$．
∴T_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n=1•2+3•2²+5•2³+…+（2n-1）•2ⁿ，①
∴$2{T_n}=1•{2^2}+3•{2^3}+5•{2^4}+…+（2n-1）•{2^{n+1}}$，②
①-②得：$-{T_n}=1•2+2•{2^2}+2•{2^3}+…+2•{2^n}-（2n-1）•{2^{n+1}}$=$2+2[{\frac{{4（1-{2^{n-1}}）}}{1-2}}]-（2n-1）•{2^{n+1}}$=-6-（2n-3）•2ⁿ⁺¹，
∴${T_n}=6+（2n-3）•{2^{n+1}}$．

点评 本题考查了等差数列的判定，错位相减法求和，属于中档题．