Question

（Ⅰ）已知：a，b，c，d∈R，请用向量方法证明：（ac+bd）²≤（a²+b²）（c²+d²），并写出等号成立的条件；
（Ⅱ）当y=2cos x-3sin x取得最大值时，求tan x的值．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：三角函数的图像与性质,不等式的解法及应用,平面向量及应用

分析：（Ⅰ）构造向量

m

=（a，b），

n

=（c，d），利用数量积的性质|

m

•

n

|≤|

m

|•|

n

|，即可证出结论；
（Ⅱ）方法一：由（I）结论得出，（2cosx+（-3）sinx）²≤（2²+（-3）²）•（cos²x+sin²x）=13，求出“=”成立时的条件即可；
方法二：由三角函数的恒等变换得y=

13

sin（φ-x），（其中tanφ=

2

3

），求出函数取最大值时tan x的值．

解答： 解：（Ⅰ）证明：设

m

=（a，b），

n

=（c，d），
∴|

m

•

n

|=||

m

|•|

n

|•cos＜

m

，

n

＞|≤|

m

|•|

n

|，
∴|

m

•

n

|2≤|

m

|2•|

n

|2，
即（ac+bd）²≤（a²+b²）（c²+d²）；
当且仅当

m

∥

n

，即ad=bc时，“=”成立；
（Ⅱ）方法一：由（I）知，
（2cosx+（-3）sinx）²≤（2²+（-3）²）•（cos²x+sin²x）=13；
当且仅当2sinx=（-3）cosx，即tanx=-

3

2

时，
|2cosx-3sinx|_max=

13

；
∴当cosx＞0＞sinx时，
|2cosx-3sinx|_max=（2cosx-3sinx）_max=

13

．
方法二：y=2cosx-3sinx
=

13

（

2

13

cosx-

3

13

sinx）
=

13

sin（φ-x），（其中tanφ=

2

3

）；
当sin（φ-x）=1，即φ-x=2kπ+

π

2

，k∈Z，
即x=φ-2kπ-

π

2

时，y_max=

13

；
此时tanx=tan（φ-2kπ-

π

2

）
=-tan（

π

2

-φ）
=-

sin( π 2 -φ)

cos( π 2 -φ)

=-

cosφ

sinφ

=-

1

tanφ

=-

3

2

．

点评：本题考查了平面向量数量积的应用问题，也考查了三角函数的图象与性质以及恒等变换问题，考查了不等式的证明问题，是综合题．