Question

对于f（x）=log

1

2

（ax²-2x+4），a∈R，若f（x）的值域为（-∞，1]，求a的取值范围．

Answer 1

考点：复合函数的单调性

专题：函数的性质及应用

分析：根据复合函数之间的关系，利用函数的值域结合对数函数的性质即可得到结论．

解答： 解：若a=0，f（x）=log

1

2

（-2x+4）的值域R，不满足条件．
若a≠0，设t=ax²-2x+4，
∵若f（x）的值域为（-∞，1]，
∴log

1

2

t≤1，
即t≥

1

2

，
则t=ax²-2x+4的最小值为

1

2

，
则a＞0，且

4a×4-22

4a

=

16a-4

4a

=

4a-1

a

=

1

2

，
解得a=

2

7

．

点评：本题主要考查复合函数之间的关系和应用，利用换元法转化为关于x的一元二次方程函数问题是解决本题的关键．