Question

14．设x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}3x-y-6≤0\\ x-y+2≥0\\ x≥0，y≥0\end{array}$，目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）．
（Ⅰ）若z的最大值为12，求$\frac{2}{a}$+$\frac{3}{b}$的最小值．
（Ⅱ）若z的最大值不大于12，求a²+b²+2（b-a）的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）画出平面区域，求出目标函数z的最大值为12时的坐标，得出a，b的关系，利用基本不等式的性质求解．
（Ⅱ）z的最大值不大于12，由（1）可的2a+3b≤6，a＞0，b＞0，画出平面区域，令Z=a²+b²+2（b-a），则转为（a-1）²+（b+1）²=Z+2=r²利用几何意义求解最值．

解答 解：（Ⅰ）不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，当直线ax+by=z（a＞0，b＞0）
过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点（4，6）时，
目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）取得最大12，
即4a+6b=12，即2a+3b=6，$\frac{2}{a}+\frac{3}{b}$=$（\frac{2}{a}+\frac{3}{b}）\frac{2a+3b}{6}$$\frac{13}{6}+（\frac{b}{a}+\frac{a}{b}）≥\frac{13}{6}+2=\frac{25}{6}$．
当且仅当a=b=$\frac{6}{5}$时取等号．
（Ⅱ）若z的最大值不大于12，由（1）可的2a+3b≤6，a＞0，b＞0，
画出平面区域，

令Z=a²+b²+2（b-a），则转为（a-1）²+（b+1）²=Z+2=r²．圆心为（1，-1），
由图可知，当r=1时，最小，此时Z=-1；
当圆过（0.2）时，半径最大，r=$\sqrt{（1-0）^{2}+（2+1）^{2}}=\sqrt{10}$，此时Z=8，
∵a＞0，
∴Z＞-1
因此Z=a²+b²+2（b-a）的取值范围（-1，8]．

点评 本题考查了基本不等式的最值的运用、简单的线性规划以及利用几何意义求最值．属于中档题．