设x∈R.定义[x]表示不超过x的最大整数.如[$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$]=0.[-3.1415926]=-4等.则称y=[x]为高斯函数.又称取整函数．现令{x}=x-[x].设函数f(x)=sin2[x]+sin2{x}-1的零点个数为m.函数g(x)=[x]•{x}-$\frac{x}{3}$-1的零点个数为n.则m+n的和为127� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

5．设x∈R，定义[x]表示不超过x的最大整数，如[$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$]=0，[-3.1415926]=-4等，则称y=[x]为高斯函数，又称取整函数．现令{x}=x-[x]，设函数f（x）=sin²[x]+sin²{x}-1（0≤x≤100）的零点个数为m，函数g（x）=[x]•{x}-$\frac{x}{3}$-1（0≤x≤100）的零点个数为n，则m+n的和为127．

分析根据定义分别求出f（x）=0和g（x）=0，将函数方程转化为sin²[x]+sin²{x}-1=0和[x]•{x}=$\frac{x}{3}$+1，分别利用图象讨论两个函数零点的个数．

解答解：由f（x）=sin²[x]+sin²{x}-1=0得sin²{x}=1-sin²[x]=cos²[x]．
则{x}=$\frac{π}{2}$+2kπ+[x]或{x}=-$\frac{π}{2}$+2kπ+[x]，
即{x}-[x]=$\frac{π}{2}$+2kπ或{x}-[x]=-$\frac{π}{2}$+2kπ．
即x=$\frac{π}{2}$+2kπ或x=-$\frac{π}{2}$+2kπ．
若x=$\frac{π}{2}$+2kπ，∵0≤x≤100，
∴当k=0时，x=$\frac{π}{2}$，由x=$\frac{π}{2}$+2kπ≤100，解得k≤15.68，即k≤15，此时有15个零点，
若x=-$\frac{π}{2}$+2kπ，∵0≤x≤100，
∴当k=0时，x=-$\frac{π}{2}$不成立，由x=-$\frac{π}{2}$+2kπ≤100，解得k≤16.28，此时有15个零点，
综上f（x）=sin²[x]+sin²{x}-1的零点个数为15+15=30个．
∵{x}=$\left\{\begin{array}{l}{x，0≤x＜1}\\{x-1，1≤x＜2}\\{x-2.2≤x＜3}\\{…}\\{x-99，99≤x＜100}\\{x-100，x=100}\end{array}\right.$，
∴[x]•{x}=$\left\{\begin{array}{l}{0，0≤x＜1\\;}\\{x-1，1≤x＜1}\\{2（x-2），2≤x＜3}\\{…}\\{99（x-99），99≤x＜100}\\{100（x-100），x=100}\end{array}\right.$，由g（x）=0得[x]•{x}=$\frac{x}{3}$+1，分别作出函数h（x）=[x]{x}和y=$\frac{x}{3}$+1的图象如图：
由图象可知当0≤x＜1和1≤x＜2时，函数h（x）=[x]{x}和y=$\frac{x}{3}$+1没有交点，
但2≤x＜3时，函数h（x）=[x]{x}和y=$\frac{x}{3}$+1在每一个区间上只有一个交点，
∵0≤x＜100，
∴g（x）=[x]•{x}-$\frac{x}{3}$-1的零点个数为100-2-1=97个．
故m=30，n=97．
m+n=127．
故答案为：127．