Question

2．已知函数f（x）=$\frac{{{3^x}-{2^{-x}}}}{{{3^x}+{2^{-x}}}}$．
（1）判断f（x）的单调性，并证明； 
（2）写出f（x）的值域．
（3）若g（x）=$\left\{\begin{array}{l}f（x），x＞0\\ 2ax+a-1，x≤0\end{array}$为R上的增函数，写出实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）化简函数f（x）后，利用定义证明即可．
（2）分离常数化简转化成基本函数求解值域．
（3）根据分段函数的单调性具有连续性，在为R上的增函数，可得实数a的取值范围．

解答 解：（1）函数f（x）=$\frac{{{3^x}-{2^{-x}}}}{{{3^x}+{2^{-x}}}}$．
化简可得：$f（x）=\frac{{{6^x}-1}}{{{6^x}+1}}=\frac{{（{6^x}+1）-2}}{{{6^x}+1}}=1-\frac{2}{{{6^x}+1}}$在R上是增函数，
证明如下：任取x₁，x₂，使得：${x_1}＞{x_2}∴{6^{x_1}}＞{6^{x_2}}＞0$
则$f（{x_1}）-f（{x_2}）=\frac{2}{{{6^{x_2}}+1}}-\frac{2}{{{6^{x_1}}+1}}=\frac{{2（{6^{x_1}}-{6^{x_2}}）}}{{（{6^{x_1}}+1）（{6^{x_2}}+1）}}＞0$，
所以f（x₁）＞f（x₂），则f（x）在R上是增函数；
（2）由（1）可得f（x）=1-$\frac{2}{{6}^{x}+1}$，
∵$0＜\frac{2}{{{6^x}+1}}＜2$
∴$f（x）=1-\frac{2}{{{6^x}+1}}∈（-1，1）$，
故得：f（x）的值域为（-1，1）；
（3）g（x）=$\left\{\begin{array}{l}f（x），x＞0\\ 2ax+a-1，x≤0\end{array}$为R上的增函数，
则需满足$\left\{\begin{array}{l}2a＞0\\ a-1≤0\end{array}\right.⇒0＜a≤1$，
故得实数a的取值范围是（0，1]．

点评 本题考查了函数的值域的求法利用了分离常数，单调性的证明和分段函数单调性的运用．属于中档题．