Question

已知函数f（x）=2sinx（cosx+sinx）-1．
（1）求f（x）的最小正周期和最大值；
（2）若α为三角形的内角且f（

α

2

-

π

8

）=

2

2

，求f（α）的值．

Answer 1

考点：三角函数的最值,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）利用三角恒等变换把函数f（x）化为一个角的三角函数，求出最小正周期与最大值；
（2）由f（

α

2

-

π

8

）=

2

2

，且α为三角形的内角，求出α的值，计算f（α）即可．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=2sinx（cosx+sinx）-1
=2sinxcosx+2sin²x-1
=sin2x-cos2x
=

2

sin（2x-

π

4

），
∴f（x）的最小正周期是π，最大值是

2

；
（2）∵f（

α

2

-

π

8

）=

2

2

，
∴

2

sin[2（

α

2

-

π

8

）-

π

4

]=

2

sin[α-

π

2

]=

2

（-cosα）
=-

2

cosα=

2

2

，
∴cosα=-

1

2

；
又∵α为三角形的内角，
∴α=

2π

3

；
∴f（α）=f（

2π

3

）=sin（2×

2π

3

）-cos（2×

2π

3

）
=sin

4π

3

-cos

4π

3

=-

3

2

-（-

1

2

）=

1- 3

2

．

点评：本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了三角恒等变换的应用问题，考查了三角函数的求值问题，是综合题目．