Question

9．对任意的x∈（0，+∞），不等式（x-a+ln$\frac{x}{a}$）（-2x²+ax+10）≤0恒成立，则实数a的取值范围是a=$\sqrt{10}$．

Answer 1

分析 首先将条件转化为对任意的x∈（0，+∞），不等式[（x+lnx）-（a+lna）]（-2x²+ax+10）≤0恒成立，构造函数f（x）=x+lnx，g（x）=-2x²+ax+10，由于f（x）在（0，+∞）上单调递增，故0＜x＜a时，（x+lnx）-（a+lna）＜0，则-2x²+ax+10≥0；x＞a时，（x+lnx）-（a+lna）＞0恒成立，则-2x²+ax+10≤0．再根据二次函数图象及性质，即可求出a的范围．

解答 解：∵对任意的x∈（0，+∞），不等式（x-a+ln$\frac{x}{a}$）（-2x²+ax+10）≤0恒成立，
∴对任意的x∈（0，+∞），不等式[（x+lnx）-（a+lna）]（-2x²+ax+10）≤0恒成立，
记f（x）=x+lnx，g（x）=-2x²+ax+10，则f（x）在（0，+∞）上单调递增
①当0＜x＜a时，f（x）＜f（a），即（x+lnx）-（a+lna）＜0恒成立，则-2x²+ax+10≥0
∴$\left\{\begin{array}{l}{g（0）=10≥0}\\{g（a）=-{a}^{2}+10≥0}\end{array}\right.$，得0＜a≤$\sqrt{10}$；
②当x=a时，不等式显然恒成立；
③当x＞a时，f（x）＞f（a），即（x+lnx）-（a+lna）＞0恒成立，则-2x²+ax+10≤0，
∵g（x）=-2（x-$\frac{a}{4}$）²+$\frac{{a}^{2}}{8}$+10在（a，+∞）上单调递减，
∴x＞a时，g（x）＜g（a）=10-a²≤0，得a≤$\sqrt{10}$．
综上可得，a=$\sqrt{10}$．

点评 本题考查了恒成立问题，转化思想和分类讨论是解决问题的关键，综合性较强．