Question

19．如图，AC是圆O的直径，点 B在圆 O上，∠B AC=30°，B M⊥AC交 AC于点 M，E A⊥平面 A BC，FC∥E A，AC=4，E A=3，FC=1．
（1）证明：E M⊥BF；  
（2）求三棱锥 E-BMF的体积．

Answer 1

分析 （1）由EA⊥平面ABC，可得EA⊥BM，又BM⊥AC，由线面垂直的判定得BM⊥平面ACFE，则BM⊥EM．再由AC是圆O的直径得∠ABC=90°．然后求解直角三角形可得EM⊥MF．从而得到EM⊥平面MBF，则有EM⊥BF；
（2）由（1）可知BM⊥平面MFE，且$BM=\sqrt{3}$，而V_E-BMF=V_B-MEF，利用等积法求得三棱锥 E-BMF的体积．

解答 （1）证明：∵EA⊥平面ABC，BM?平面ABC，∴EA⊥BM．
又∵BM⊥AC，EA∩AC=A，∴BM⊥平面ACFE，
而EM?平面ACFE，∴BM⊥EM．
∵AC是圆O的直径，∴∠ABC=90°．
又∵∠BAC=30°，AC=4，∴$AB=2\sqrt{3}$，BC=2，AM=3，CM=1．
∵EA⊥平面ABC，FC∥EA，FC=1，∴FC⊥平面ABCD．
∴△EAM与△FCM都是等腰直角三角形．
∴∠EMA=∠FMC=45°，则∠EMF=90°，即EM⊥MF．
∵MF∩BM=M，∴EM⊥平面MBF，
而BF?平面MBF，∴EM⊥BF；
（2）解：由（1）可知BM⊥平面MFE，且$BM=\sqrt{3}$，而V_E-BMF=V_B-MEF，
又由（1）可知，AE=AM=3，∴∠AME=45°，FC=CM=1，
∴∠CMF=45°，则∠EMF=90°，
则$ME=3\sqrt{2}$，$MF=\sqrt{2}$，
∴${S_{△MEF}}=\frac{1}{2}×3\sqrt{2}×\sqrt{2}=3$，
∴${V_{E-BMF}}=\frac{1}{3}×3×\sqrt{3}=\sqrt{3}$．

点评 本题考查空间中直线与直线的位置关系，考查了线面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．