Question

4．已知函数f（x）=2sin（π-x）cosx．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在区间[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}}$]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）将函数f（x）化简成f（x）=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函数的最小正周期，
（Ⅱ）当x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，求出f（x）的取值最大和最小值．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）=2sin（π-x）cosx．
化简可得：f（x）=2sinxcosx=$\frac{1}{2}$sin2x．
最小正周期T=$\frac{2π}{ω}$=$\frac{2π}{2}$=π
∴f（x）的最小正周期为π．
（Ⅱ）当x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]时，2x∈[$-\frac{π}{3}$，π]．
根据正弦函数的图象及性质，可知：
当2x=-$\frac{π}{3}$时，函数f（x）取得最小值为$\frac{1}{2}$sin（-$\frac{π}{3}$）=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$．
当2x=$\frac{π}{2}$时，函数f（x）取得最大值为$\frac{1}{2}$sin（$\frac{π}{2}$）=$\frac{1}{2}$．
故得函数f（x）当x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]时的最大值f（x）_max=$\frac{1}{2}$，最小值为f（x）_min=$-\frac{\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键