Question

10．如果一个点时一个指数函数和一个对数函数的图象的交点，那么称这个点为“好点”，下列四个点P₁（1，1），P₂（1，2），P₃（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），P₄（2，2）中，“好点”的个数为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 可设指数函数为y=a^x，对数函数为y=log_bx，容易判断P₁，P₂不在对数函数图象上，从而判断这两点不是“好点”，然后将P₃的坐标分别代入指数函数和对数函数解析式，从而可解出a，b，进而判断出P₃为“好点”，同样的方法可判断P₄为好点，进而找出正确选项．

解答 解：设指数函数为y=a^x，对数函数为y=log_bx；
对于对数函数，x=1时，y=0，则P₁，P₂不是对数函数图象上的点；
∴P₁，P₂不是好点；
将P₃的坐标分别代入指数函数和对数函数解析式得：
$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}}\\{lo{g}_{b}\frac{1}{2}=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$；
解得$a=b=\frac{1}{4}$；
即P₃是指数函数$y=（\frac{1}{4}）^{x}$和对数函数$y=lo{g}_{\frac{1}{4}}x$的交点，即P₃为“好点”；
同样，将P₄坐标代入函数解析式得：
$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}=2}\\{lo{g}_{b}2=2}\end{array}\right.$；
解得$a=b=\sqrt{2}$；
∴P₄是“好点”；
∴“好点”个数为2．
故选B．

点评 考查指数函数和对数函数解析式的一般形式，理解“好点”的定义，以及指数式和对数式的互化．