Question

12．设F₁、F₂是椭圆$\frac{{x}^{2}}{5}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1的两个焦点，点P在椭圆上，当△F₁PF₂的面积为2时，$\overrightarrow{P{F}_{1}}•\overrightarrow{P{F}_{2}}$=（　　）

• A． -$\frac{2\sqrt{6}}{3}$
• B． 0
• C． 1
• D． $\frac{\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 由题意可知：设P（x，y），F₁（-$\sqrt{3}$，0），F₂（$\sqrt{3}$，0），则$\overrightarrow{P{F}_{1}}$=（-$\sqrt{3}$-x，-y），$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=（$\sqrt{3}$-x，-y），$\overrightarrow{P{F}_{1}}•\overrightarrow{P{F}_{2}}$=（-$\sqrt{3}$-x，-y）•（$\sqrt{3}$-x，-y）=x²+y²-3，根据三角形的面积公式可知：SS=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}$||y|=$\frac{1}{2}$•2$\sqrt{3}$•|y|=$\sqrt{3}$|y|=2，代入椭圆方程，即可x²=$\frac{8}{3}$，因此$\overrightarrow{P{F}_{1}}•\overrightarrow{P{F}_{2}}$=x²+y²-3=0，即可求得$\overrightarrow{P{F}_{1}}•\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0．

解答 解：由椭圆$\frac{{x}^{2}}{5}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1焦点在x轴上，a=$\sqrt{5}$，b=$\sqrt{2}$，c=$\sqrt{3}$，
设P（x，y），F₁（-$\sqrt{3}$，0），F₂（$\sqrt{3}$，0），则$\overrightarrow{P{F}_{1}}$=（-$\sqrt{3}$-x，-y），$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=（$\sqrt{3}$-x，-y），
$\overrightarrow{P{F}_{1}}•\overrightarrow{P{F}_{2}}$=（-$\sqrt{3}$-x，-y）•（$\sqrt{3}$-x，-y）=x²+y²-3，
∵△F₁PF₂的面积S=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}$||y|=$\frac{1}{2}$•2$\sqrt{3}$•|y|=$\sqrt{3}$|y|=2，
∴y²=$\frac{2}{3}$，
由于点P在椭圆上，
∴$\frac{{x}^{2}}{5}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1x，
则x²=$\frac{8}{3}$，
$\overrightarrow{P{F}_{1}}•\overrightarrow{P{F}_{2}}$=x²+y²-3=0，
故选：B．

点评 本题考查椭圆的标准方程，考查向量数量积的坐标标准，焦点三角形的面积公式，考查计算能力，属于中档题．