Question

5．已知F₁，F₂是椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）左右焦点，它的离心率e=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，且被直线y=$\frac{1}{2}（{x+a}）$所截得的线段的中点的横坐标为-1．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设P（m，n）是其椭圆上的任意一点，当∠F₁PF₂为钝角时，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，可得：a=2b，设椭圆的标准方程为：x²+4y²=4b²，联立直线方程，由韦达定理，求出a，b值，可得椭圆的标准方程；
（Ⅱ）当∠F₁PF₂为钝角时，$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}＜0$，即m²+n²＜3，进而可得m的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）∵椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∴a=2b，
故可设椭圆的标准方程为：x²+4y²=4b²，
将y=$\frac{1}{2}（{x+a}）$代入得：2x²+4bx=0，
∴x₁+x₂=-2b=-2，
∴b=1，a=2
∴椭圆方程为$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$（3分）
（Ⅱ）当∠F₁PF₂为钝角时，$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}＜0$，
得m²+n²＜3（3分）
所以$\left\{\begin{array}{l}{m^2}+{n^2}＜3\\ \frac{m^2}{4}+{n^2}=1\end{array}\right.$
得$m∈（{-\frac{{2\sqrt{6}}}{3}，\frac{{2\sqrt{6}}}{3}}）$（3分）

点评 本题考查的知识点是椭圆的标准方程，椭圆的简单性质，向量的数量积运算，难度中档．