Question

15．若实数x、y满足x²+2xy+y²+4x²y²=4，则x-y的最大值是$\frac{\sqrt{17}}{2}$．

Answer 1

分析 由x²+2xy+y²+4x²y²=4，变形为（x+y）²+（2xy）²=4．可设x+y=2cosθ，2xy=sinθ，θ∈[0，2π）．代入（x-y）²=（x+y）²-4xy=-4（sinθ+$\frac{1}{4}$）²+$\frac{17}{4}$，利用三角函数与二次函数的单调性即可得出．

解答 解：由x²+2xy+y²+4x²y²=4，变形为（x+y）²+（2xy）²=4．
可设x+y=2cosθ，2xy=sinθ，θ∈[0，2π）．
∴（x-y）²=（x+y）²-4xy=4cos²θ-2sinθ=4-4sin²θ-2sinθ
=-4（sinθ+$\frac{1}{4}$）²+$\frac{17}{4}$≤$\frac{17}{4}$，当且仅当sin$θ=-\frac{1}{4}$时取等号．
∴x-y的最大值为$\frac{\sqrt{17}}{2}$，
故答案为：$\frac{\sqrt{17}}{2}$．

点评 本题考查了三角函数与二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．