Question

17．已知向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为$\frac{2π}{3}$，|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow{b}$|=3，记$\overrightarrow{m}$=3$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{n}$=2$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow{b}$
（1）若$\overrightarrow{m}⊥\overrightarrow{n}$，求实数k的值；
（2）是否存在实数k，使得$\overrightarrow{m}∥\overrightarrow{n}$，说明理由．

Answer 1

分析 （1）可先求出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=-3$，由$\overrightarrow{m}⊥\overrightarrow{n}$即可得出$（3\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}）•（2\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{b}）=0$，这样即可求出k的值；
（2）根据共线向量基本定理，若$\overrightarrow{m}∥\overrightarrow{n}$，则有$\overrightarrow{n}=λ\overrightarrow{m}$，进而$2\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{b}=λ（3\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}）$，这样即可求出实数k的值．

解答 解：$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$夹角$\frac{2π}{3}$，且$|\overrightarrow{a}|=2，|\overrightarrow{b}|=3$；
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=2×3×（-\frac{1}{2}）=-3$；
（1）∵$\overrightarrow{m}⊥\overrightarrow{n}$；
∴$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}=0$；
即：
$（3\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}）•（2\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{b}）$
=$6{\overrightarrow{a}}^{2}+（3k-4）\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}-2k{\overrightarrow{b}}^{2}$
=24-3（3k-4）-18k=0；
∴$k=\frac{4}{3}$；
（2）若$\overrightarrow{m}∥\overrightarrow{n}$，则存在λ使得$\overrightarrow{n}=λ\overrightarrow{m}$；
即$2\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{b}=λ（3\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}）$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{2=3λ}\\{k=-2λ}\end{array}\right.$；
∴$k=-\frac{4}{3}$．

点评 考查数量积的运算及计算公式，向量垂直的充要条件，平面向量及共线向量基本定理．