Question

5．F₁，F₂是双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F₁（作斜率为k的直线交双曲线右支于点P，且∠F₁PF₂为锐角，M为线段F₁P的中点，过坐标原点O作OT⊥F₁P于点T，且|OM|-|TM|=b-a，则k=（　　）

• A． $\frac{b}{a}$
• B． $\frac{a}{b}$
• C． $\frac{a}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$
• D． $\frac{b}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$

Answer 1

分析 运用双曲线的定义和三角形的中位线定理，结合条件，可得|F₁T|=$\frac{1}{2}$|PF₁|-|MT|=b，再由直角三角形的勾股定理可得|OT|=a，再由直角三角形的正切函数的定义，即可得到所求k的值．

解答 解：由双曲线的定义可得|PF₁|-|PF₂|=2a，
M为线段F₁P的中点，OM为△F₁PF₂的中位线，
可得|OM|=$\frac{1}{2}$|PF₂|=$\frac{1}{2}$（|PF₁|-2a）=$\frac{1}{2}$|PF₁|-a，
由|OM|-|TM|=b-a，
可得|MT|=|OM|-b+a
=$\frac{1}{2}$|PF₁|-a-b+a=$\frac{1}{2}$|PF₁|-b，
即有|F₁T|=$\frac{1}{2}$|PF₁|-|MT|=b，
在直角三角形OF₁T中，|OT|=$\sqrt{|O{F}_{1}{|}^{2}-|{F}_{1}T{|}^{2}}$=$\sqrt{{c}^{2}-{b}^{2}}$=a，
即有k=tan∠TF₁O=$\frac{|OT|}{|T{F}_{1}|}$=$\frac{a}{b}$．
故选：B．

点评 本题考查双曲线的定义和性质，以及三角形的中位线定理、直角三角形的勾股定理，直线的斜率与正切函数的关系式，考查运算能力，属于中档题．