Question

9．已知函数f（x）=|x-3|-2，g（x）=-|x+1|+4．
（1）若函数f（x）≥g（x），求x得取值范围；
（2）若不等式f（x）-g（x）≥m+1的解集为R，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）通过讨论x的范围，得到关于x的不等式组，解出即可；
（2）由题意得，不等式|x-3|+|x+1|-6≥m+1恒成立，故左边的最小值大于或等于m+1，问题化为求左边的最小值，利用绝对值不等式的性质可得左边的最小值．

解答 解：（1）若函数f（x）≥g（x），
即|x-3|-2≥-|x+1|+4，即|x-3|+|x+1|≥6，
故$\left\{\begin{array}{l}{x≥3}\\{x-3+x+1≥6}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{-1＜x＜3}\\{3-x+x+1≥6}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x≤-1}\\{3-x-x-1≥6}\end{array}\right.$，
解得：x≥4或x≤-2；
（2）由题意得，不等式f（x）-g（x）≥m+1恒成立，
即|x-3|+|x+1|-6≥m+1 恒成立．
∵|x-3|+|x+1|-6≥|（x-3）-（x+1）|-6=-2，
∴-2≥m+1，∴m≤-3，
故m的取值范围 （-∞，-3]．

点评 本题考查绝对值不等式的性质的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题．