在平面直角坐标系xOy中.动点M(x.y)满足条件$\sqrt{^2}+{y^2}}+\sqrt{^2}+{y^2}}=2\sqrt{2}$．(1)求动点M的轨迹E的方程,与曲线E分别交于A.B两点.与x轴.y轴分别交于C.D两点(且C.D在A.B之间或同时在A.B之外)．问:是否存在定值k.对于满足条件的任意实数m.都有△OAC的面积与△OBD的面积相等.若存在.求k的值,若不� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

1．在平面直角坐标系xOy中，动点M（x，y）满足条件$\sqrt{（x-1{）^2}+{y^2}}+\sqrt{（x+1{）^2}+{y^2}}=2\sqrt{2}$．
（1）求动点M的轨迹E的方程；
（2）设直线y=kx+m（m≠0）与曲线E分别交于A，B两点，与x轴、y轴分别交于C，D两点（且C、D在A、B之间或同时在A、B之外）．问：是否存在定值k，对于满足条件的任意实数m，都有△OAC的面积与△OBD的面积相等，若存在，求k的值；若不存在，说明理由．

分析（1）利用$\sqrt{（x-1{）^2}+{y^2}}+\sqrt{（x+1{）^2}+{y^2}}=2\sqrt{2}$，化简整理可得轨迹E的方程．
（2）联立$\left\{{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{x^2}+2{y^2}=2}\end{array}}\right.$消去y得，通过△＞0得m²＜2k²+1（*）．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用韦达定理求出${x_1}+{x_2}=\frac{-4mk}{{2{k^2}+1}}$，由题意，不妨设$C（{-\frac{m}{k}，0}），D（{0，m}）$，通过△OAC的面积与△OBD的面积总相等转化为线段AB的中点与线段CD的中点重合，求出k，即可得到结果．

解答解：（1）因为M满足$\sqrt{（x-1{）^2}+{y^2}}+\sqrt{（x+1{）^2}+{y^2}}=2\sqrt{2}$，整理得$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$，
∴轨迹E的方程为$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$…（4分）
（2）联立$\left\{{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{x^2}+2{y^2}=2}\end{array}}\right.$消去y得（1+2k²）x²+4mkx+2m²-2=0，△=（4mk）²-4（1+2k²）（2m²-2）=8（2k²-m²+1），由△＞0得m²＜2k²+1（*）．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则${x_1}+{x_2}=\frac{-4mk}{{2{k^2}+1}}$，…（6分）
由题意，不妨设$C（{-\frac{m}{k}，0}），D（{0，m}）$，△OAC的面积与△OBD的面积总相等?|AC|=|BD|恒成立?线段AB的中点与线段CD的中点重合…（8分）
∴$\frac{-4mk}{{2{k^2}+1}}=-\frac{m}{k}$，解得$k=±\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，…（10分）
即存在定值$k=±\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，对于满足条件m≠0，且$|m|＜\sqrt{2}$（据（*）的任意实数m，
都有△OAC的面积与△OBD的面积相等．…（12分）