Question

14．已知函数f（x）=x+$\frac{4}{x}$．
（1）判断函数f（x）的奇偶性，写出判断过程；
（2）证明f（x）在区间（0，2]是单调减函数，在区间[2，+∞）上是单调增函数；
（3）当x∈（0，+∞）时，试求函数f（x）的最大值或最小值．

Answer 1

分析 （1）利用函数奇偶性的定义判断f（-x）与f（x）的关系，在定义域关于原点对称的前提下，相等为偶函数，相反为奇函数；
（2）利用导数与函数单调性的关系，对函数求导，通过导数的符号判断函数的单调性；
（3）利用基本不等式以及函数的单调性求最值．

解答 解：（1）函数f（x）的定义域为{x|x≠0，x∈R}关于原点对称
因为f（-x）=-x-$\frac{4}{x}$=-f（x）．
所以f（x）是奇函数．
（2）证明：f'（x）=1-$\frac{4}{{x}^{2}}$，f'（x）在区间（0，2]，f'（x）＜0，所以在[0，2]是单调减函数，在区间[2，+∞）上f'（x）＞0，所以f（x）在[2，+∞）是单调增函数；
（3）当x∈（0，+∞）时，f（x）≥2$\sqrt{x•\frac{4}{x}}$=4，当且仅当x=2时f（x）取最小值4，无最大值．

点评 本题主要考查函数的单调性和奇偶性的判断与证明，同时还考查了利用性质作出函数图象，这类作图不是很准确，但在数形结合中解决问题很有效