Question

2．已知关于x的不等式kx²-2x+6k＜0（k≠0）
（1）若不等式的解集是{x|x＜-3或x＞-2}，求k的值；
（2）若不等式的解集是R，求k的取值范围；
（3）若不等式的解集为∅，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据一元二次方程与对应的不等式的关系，结合根与系数的关系，求出k的值；
（2）跟你就题意△=4-24k²＜0，且k＜0，解得即可，
（3）根据题意，得△≤0且k＞0，由此求出k的取值范围

解答 解：（1）∵不等式kx²-2x+6k＜0的解集是{x|x＜-3或x＞-2}，
∴k＜0，且-3和-2是方程kx²-2x+6k=0的实数根，
由根与系数的关系，得（-3）+（-2）=$\frac{2}{k}$，
∴k=-$\frac{2}{5}$；
（2）不等式的解集是R，
∴△=4-24k²＜0，且k＜0，
解得k＜-$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
（3）不等式的解集为∅，得△=4-24k²≤0，且k＞0，
解得k≥$\frac{\sqrt{6}}{6}$．

点评 本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，也考查了利用基本不等式求函数最值的问题，是综合性题目．