Question

给出下列命题：
①若f′（x₀）=0，则函数f（x）在x=x₀处有极值；
②m＞0是方程

x2

m

+

y2

4

=1表示椭圆的充要条件；
③若f（x）=（x²-8）e^x，则f（x）的单调递减区间为（-4，2）；
④双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1的离心率为e₁，双曲线

x2

b2

-

y2

a2

=1的离心率为e₂，则e₁+e₂的最小值为2

2

其中为真命题的序号是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程,简易逻辑

分析：①f′（x₀）=0是函数f（x）在x=x₀处有极值的必要非充分条件，例如函数f（x）=x³在x=0处无极值；
②m＞0且m≠4是方程

x2

m

+

y2

4

=1表示椭圆的充要条件，即可判断出；
③令f′（x）=（x+4）（x-2）e^x＜0，解得即可得出f（x）的单调递减区间；
④由于e₁+e₂=

1+ b2 a2

+

1+ a2 b2

=

c

a

+

c

b

≥

2

a2+b2 2

×c即可判断出．

解答： 解：①若f′（x₀）=0，则函数f（x）在x=x₀处不一定有极值，例如函数f（x）=x³在x=0处无极值，不正确；
②m＞0且m≠4是方程

x2

m

+

y2

4

=1表示椭圆的充要条件，因此不正确；
③若f（x）=（x²-8）e^x，则f′（x）=（x²+2x-8）e^x=（x+4）（x-2）e^x，
令f′（x）＜0，解得-4＜x＜2，因此f（x）的单调递减区间为（-4，2），正确；
④双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1的离心率为e₁，双曲线

x2

b2

-

y2

a2

=1的离心率为e₂，
则e₁+e₂=

1+ b2 a2

+

1+ a2 b2

=

c

a

+

c

b

≥

2

a2+b2 2

×c=2

2

，当且仅当a=b时取等号．其最小值为2

2

，正确．
其中为真命题的序号是③④．
故答案为：③④．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值、圆锥曲线的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．