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13．某脐橙基地秋季出现持续阴雨寡照等异常天气，对脐橙物候和产量影响明显，导致脐橙春季物候期推迟，畸形花增多，果实偏小，落果增多，对产量影响较大．为此有关专家退出2种在异常天气下提高脐橙果树产量的方案，每种方案都需分两年实施．实施方案1：预计第一年可以使脐橙倡粮恢复到灾前的1.0倍、0.8倍的概率分别是0.4、0.6；第二年可以使脐橙产量为第一年产量的1.25倍、1.1倍的概率分别是0.5、0.5．实施方案2：预计第一年可以使脐橙产量达到灾前1.2倍、0.8倍的概率分别是0.5、0.5；第二年可以使脐橙产量为第一年产量的1.25倍、1.0倍的概率分别是0.6、0.4．实施每种方案第一年与第二年相互对立，令X1表示方案1实施两年后脐橙产量达到灾前产量的倍数，X2表示方案2实施两年后脐橙产量达到灾前产量的倍数．
（1）分别求X1、X2的分布列和数学期望；
（2）不管哪种方案，如果实施两年后，脐橙产量不高于和高于灾前产量的预计利润分别为12万元和20万元，为了实现两年后的平均利润最大化，应该选择哪种方案？

分析 （1）把实施方案一的数据列表整理，能求出X1的分布列的数学期望；把实施方案二的数据列表整理，能求出X2的分布列的数学期望．
（2）记方案一的预计利润数为Y1，求出Y1的分布列和期望；记方案二的预计利润数为Y2，求出Y2的分布列和期望，由EY1＜EY2，得到为了实现两年后的平均利润最大化，应该选择方案2．

解答 解：（1）实施方案一的数据具体见下表：

  第一年
（对于灾前）		 第二年
（对于第一年）		 第二年
（对于灾前）
 倍数 1.00.8  1.251.10 1.25 1.10.9 0.88
 相应频率 0.40.6 0.50.5 0.20.20.3 0.3
由表可得X1的分布列：
 X1 1.25 1.1 0.9 0.88
 P 0.2 0.2 0.3 0.3
EX1=1.25×0.2+1.1×0.2+0.9×0.3+0.88×0.3=1.004．
实施方案二的数据具体见下表：
第一年
（对于灾前）		第二年
（对于第一年）		第二年
（对于灾前）
倍数1.20.81.251.101.51.321.00.88
相应频率0.50.50.60.40.30.20.3 0.2
由表可得X2的分布列为：
 X2 1.51.32 1.0 0.88 
 P0.3 0.2 0.3 0.2 
EX2=1.5×0.3+1.32×0.2+1.0×0.3+0.88×0.2=1.19．
（2）记方案一的预计利润数为Y1，则Y1的分布列为：
 Y1 12 20
 P 0.6 0.4
EY1=12×0.6+20×0.4=15.2．
记方案二的预计利润数为Y2，则Y2的分布列为：
Y21220
P0.50.5
EY2=12×0.5+20×0.5=16．
∵EY1＜EY2，
∴为了实现两年后的平均利润最大化，应该选择方案2．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法及应用，是中档题，在历年高考中都是必考题型之一．

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