Question

2．已知O是锐角△ABC的外心，B=30°，若$\frac{cosA}{sinC}$$\overrightarrow{BA}$+$\frac{cosC}{sinA}$$\overrightarrow{BC}$=λ$\overrightarrow{BO}$，则λ=1．

Answer 1

分析 作出图形，根据三角形外心的定义以及向量数量积的计算公式及三角函数的定义即可得出$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BO}=\frac{1}{2}|\overrightarrow{BA}{|}^{2}，\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{BO}=\frac{1}{2}|\overrightarrow{BC}{|}^{2}$，这样在$\frac{cosA}{sinC}\overrightarrow{BA}+\frac{cosC}{sinA}\overrightarrow{BC}=λ\overrightarrow{BO}$的两边同乘以$\overrightarrow{BO}$，便可得出$\frac{cosA}{sinC}|\overrightarrow{BA}{|}^{2}+\frac{cosC}{sinA}|\overrightarrow{BC}{|}^{2}=λ|\overrightarrow{BO}{|}^{2}$，可设△ABC的外接圆半径为R，从而由正弦定理便可得到$cosA|\overrightarrow{BA}|2R+cosC|\overrightarrow{BC}|2R=λ{R}^{2}$，再根据正弦定理便可得出2sin（A+C）=λ，而A+C=150°，从而便可得出λ的值．

解答 解：如图，由$\frac{cosA}{sinC}\overrightarrow{BA}+\frac{cosC}{sinA}\overrightarrow{BC}=λ\overrightarrow{BO}$得：
$\frac{cosA}{sinC}\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BO}$$+\frac{cosC}{sinA}\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{BO}=λ{\overrightarrow{BO}}^{2}$；
∴$\frac{1}{2}•\frac{cosA}{sinC}•|\overrightarrow{BA}{|}^{2}+\frac{1}{2}•\frac{cosC}{sinA}•|\overrightarrow{BC}{|}^{2}=λ|\overrightarrow{BO}{|}^{2}$；
即$cosA|\overrightarrow{BA}|•\frac{|\overrightarrow{BA}|}{sinC}+cosC|\overrightarrow{BC}|•\frac{|\overrightarrow{BC}|}{sinA}$=$2λ|\overrightarrow{BO}{|}^{2}$；
设△ABC外接圆半径为R，则$|\overrightarrow{BO}|=R$；
在△ABC中由正弦定理得：$\frac{|\overrightarrow{BA}|}{sinC}=\frac{|\overrightarrow{BC}|}{sinA}=2R$；
∴$cosA|\overrightarrow{BA}|•2R+cosC|\overrightarrow{BC}|•2R=2λ{R}^{2}$；
∴$cosA|\overrightarrow{BA}|+cosC|\overrightarrow{BC}|=λR$；
∴2RsinCcosA+2RcosCsinA=λR；
∴2sin（C+A）=2sin150°=λ；
∴λ=1．
故答案为：1．

点评 考查向量数量积的运算及计算公式，三角函数的定义，正弦定理，三角形外心的定义，以及两角和的正弦公式，三角形的内角和为180°．