Question

4．已知椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），点P（$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$）在椭圆上，倾斜角为45°的直线l交椭圆于C、D两点，B（$\frac{4}{5}$，-$\frac{1}{5}$）为线段CD的中点，O为坐标原点．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）设动点Q在椭圆E上，点R（-1，0），若直线QR的斜率大于1，求直线OQ的斜率的取值范围．

Answer 1

分析 （1）将P的坐标代入椭圆方程，设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），代入椭圆方程运用作差法，结合直线的斜率公式，解方程可得a=2，b=1，即可得到所求椭圆方程；
（2）设Q（m，n），代入椭圆方程，由直线的斜率公式，解得m的范围，再由直线OQ的斜率，结合不等式的性质可得所求范围．

解答 解：（1）由题意可得$\frac{3}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{4{b}^{2}}$=1，①
设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
可得$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{{b}^{2}}$=1，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
作差可得$\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{a}^{2}}$=-$\frac{（{y}_{1}-{y}_{2}）（{y}_{1}+{y}_{2}）}{{b}^{2}}$，
由题意可得x₁+x₂=$\frac{8}{5}$，y₁+y₂=-$\frac{2}{5}$，
即有直线CD的斜率为$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-$\frac{{b}^{2}（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{a}^{2}（{y}_{1}+{y}_{2}）}$=$\frac{4{b}^{2}}{{a}^{2}}$=1，②
由①②解得a=2，b=1，
可得椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（2）设Q（m，n），且$\frac{{m}^{2}}{4}$+n²=1，
由题意可得k_QR=$\frac{n}{m+1}$＞1，
即有-$\frac{8}{5}$＜m＜0，
当m=-$\frac{8}{5}$时，n=±$\frac{3}{5}$，
此时QR的斜率小于-1，
当QR垂直于x轴时，由m=-1时，n=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
即有Q（-1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），直线OQ的斜率为-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
可得直线OQ的斜率的取值范围为（-∞，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$]．

点评 本题考查椭圆方程的求法，注意运用点差法和直线的斜率公式，考查直线的斜率的范围，注意运用点满足椭圆方程，以及直线的斜率公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．