Question

在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c．且满足（2a-c）cosB=bcosC，sin²A=sin²B+sin²C-λsinBsinC．（λ∈R）．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若λ=

3

，求角C；
（Ⅲ）如果△ABC为钝角三角形，求λ的范围．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：解三角形

分析：（Ⅰ）已知第一个等式利用正弦定理化简，整理后根据sinA不为0求出cosB的值，即可确定出角B的大小；
（Ⅱ）已知第二个等式利用正弦定理化简得到关系式，利用余弦定理表示出cosA，把得出关系式及λ=

3

代入求出cosA的值，即可确定出角C；
（Ⅲ）表示出cosA，由三角形为钝角三角形，分A为钝角与C为钝角两种情况求出λ的范围即可．

解答： 解：（Ⅰ）由（2a-c）cosB=bcosC得，（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC，
整理得：2sinAcosB=sin（B+C）=sinA，
∵sinA≠0，∴cosB=

1

2

，
∵B∈（0，π），∴B=

π

3

；
（Ⅱ）由sin²A=sin²B+sin²C-λsinBsinC，（λ∈R），得：a²=b²+c²-λbc，
∴cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

λ

2

=

3

2

，
∴A=

π

6

，
则C=

π

2

；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

λ

2

，
如果角A为钝角，即

π

2

＜A＜

2π

3

，则有-

1

2

＜

λ

2

＜0，
解得：-1＜λ＜0；
如果角C为钝角，0＜A＜

π

6

，则有

3

2

＜

λ

2

＜1，
解得：

3

＜λ＜2，
综上，λ∈（-1，0）∪（

3

，2）．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．