Question

15．如图，点E，F分别是四边形ABCD的边AD，BC的中点，AB=4，DC=6，$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{DC}$所成角是60°．
（1）若$\overrightarrow{EF}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{DC}$，求实数x，y的值；
（2）求线段EF的长度．

Answer 1

分析 （1）根据向量加法的几何意义便可得到：$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BF}}&{①}\\{\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{ED}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CF}}&{②}\end{array}\right.$，从而①+②便可得出$\overrightarrow{EF}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{DC}$，从而根据平面向量基本定理得出$x=\frac{1}{2}，y=\frac{1}{2}$；
（2）要求线段EF的长度，可以考虑求$|\overrightarrow{EF}|$，从而求${\overrightarrow{EF}}^{2}=（\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{DC}）^{2}$，这样进行数量积的计算即可得出${\overrightarrow{EF}}^{2}$，从而得出$|\overrightarrow{EF}|$．

解答 解：（1）$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BF}}&{①}\\{\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{ED}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CF}}&{②}\end{array}\right.$；
∵E，F分别是四边形ABCD的边AD，BC的中点；
∴$\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{ED}=\overrightarrow{0}，\overrightarrow{BF}+\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{0}$；
∴①+②得，$2\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}$；
∴$\overrightarrow{EF}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{DC}$；
∴$x=\frac{1}{2}，y=\frac{1}{2}$；
（2）AB=4，DC=6，$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{DC}$所成角为60°；
∴${\overrightarrow{EF}}^{2}=\frac{1}{4}{\overrightarrow{AB}}^{2}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{DC}+\frac{1}{4}{\overrightarrow{DC}}^{2}$=4+6+9=19；
∴$|\overrightarrow{EF}|=\sqrt{19}$；
∴线段EF的长度为$\sqrt{19}$．

点评 考查向量加法的几何意义，相反向量的概念，向量数乘的运算，以及平面向量基本定理，向量数量积的运算及计算公式．