Question

5．已知△ABC，角A，B，C的对边分别为a，b，c且a²-c²=b（a-b）且c=$\sqrt{6}$
（1）求角C；   
（2）求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）把已知的等式变形后，得到一个关系式，然后利用余弦定理表示出cosC，把变形后的关系式代入即可求出cosC的值，根据C的范围，利用特殊角的三角函数值即可得到C的度数；
（2）运用余弦定理可得c²=a²+b²-ab，运用基本不等式可得ab≤6，再由三角形的面积公式即可得到最大值．

解答 解：（1）因为a²-c²=b（a-b），即a²+b²-c²=ab，
则cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{ab}{2ab}$=$\frac{1}{2}$，又C∈（0°，180°），
所以∠C=60°．
（2）由余弦定理可得，c²=6=a²+b²-2abcosC=a²+b²-ab≥2ab-ab=ab，
即有ab≤6，当且仅当a=b，取得等号．
则△ABC的面积为S=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$ab≤$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
当且仅当a=b=$\sqrt{6}$，取得最大值$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查余弦定理和三角形的面积公式的运用，考查运用基本不等式求最值的方法，属于中档题．