Question

15．如图．在矩形ABCD中．AB=3 $\sqrt{3}$，BC=3，沿对角线BD把△BCD折起．使C移到C′．且C′在面ABC内的射影O恰好落在AB上．
（1）求证：AD⊥BC′；
（2）求证：平面DBC′⊥平面ADC′；
（3）求三棱锥C′-ABD的体积．

Answer 1

分析 （1）推导出AD⊥AB，AD⊥C′O，从而AD⊥平面AC′O，由此能证明AD⊥BC′．
（2）推导出BP⊥DC′，AD⊥C′O，C′B⊥AD，从而BC′⊥平面ADC′，从而能证明平面DBC′⊥平面ADC′．
（3）由C′O⊥平面ABD，得到三棱锥C′-ABD的体积V=$\frac{1}{3}×{S}_{△ABD}×{C}^{'}O$，由此能求出结果．

解答 证明：（1）∵在矩形ABCD，∴AD⊥AB，
∵C′在面ABC内的射影O恰好落在AB上，
∴C′O⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，
∴AD⊥C′O，
∵AB∩C′O=O，∴AD⊥平面AC′O，
∵BC′?平面AC′O，∴AD⊥BC′．
（2）：∵在矩形ABCD中，BC⊥CD，AB⊥AD，
∴折起后，BP⊥DC′，
∵沿对角线BD把△BCD折起，使点C移到点C′，
且点C′在面ABD内的射影O恰好落在AB上，
∴C′O⊥平面ABD，又AD?平面ABD，∴AD⊥C′O，
又AB∩C′O=O，∴AD⊥平面C′AB，
又C′B?平面C′AB，∴C′B⊥AD，
∵AD∩DC′=D，∴BC′⊥平面ADC′，
又BC′?平面DBC′，∴平面DBC′⊥平面ADC′．
解：（3）∵C′O⊥平面ABCD，∴C′O⊥平面ABD，
∵在矩形ABCD中，AB=3$\sqrt{3}$，BC=3，
∴BC′=AD=3，C′D=3$\sqrt{3}$，∴C′A=$\sqrt{{C}^{'}{D}^{2}-A{D}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
∴C′O=$\frac{B{C}^{'}•{C}^{'}A}{AB}$=$\sqrt{6}$，
∴S_△ABD=$\frac{1}{2}×3\sqrt{3}×3=\frac{9\sqrt{3}}{2}$，
∴三棱锥C′-ABD的体积V=$\frac{1}{3}×{S}_{△ABD}×{C}^{'}O$=$\frac{1}{3}×\frac{9\sqrt{3}}{2}×\sqrt{6}$=$\frac{9\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查线线垂直的证明，考查面面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．