Question

{a_n}为公差不为0的等差数列，a₁=1且a₁、a₃、a₉成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{a_n}的前n项和为S_n，求数列{

1

Sn

}的前n项和．

Answer 1

考点：等差数列与等比数列的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）设{a_n}的公差为d，由题意得（1+2d）²=1（1+8d），可求得d=1，故可求得数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）数列{a_n}的前n项和为Sn=

(1+n)n

2

，故有

1

Sn

=

2

n(n+1)

，从而可求数列{

1

Sn

}的前n项和T_n．

解答： 解：（Ⅰ）设{a_n}的公差为d，由题意得（1+2d）²=1（1+8d），
得d=1或d=0（舍去），
所以{a_n}的通项公式为a_n=1+（n-1）d=n．
（Ⅱ）Sn=

(1+n)n

2

，

1

Sn

=

2

n(n+1)

，
∴数列{

1

Sn

}的前n项和T_n=

2

1×2

+

2

2×3

+

2

3×4

+…+

2

n(n+1)

=2（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-…+

1

n

-

1

n+1

）
=2（1-

1

n+1

）
=

2n

n+1

．

点评：本题主要考察等差数列与等比数列的综合应用，属于基础题．