Question

已知

m

，

n

是空间两个单位向量，且

m

•

n

＞0，设向量

a

=2

m

+

n

，

b

=-3

m

+2

n

，且＜

b

，

a

＞=

2π

3

，则＜

m

，

n

＞为

 

．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：利用

b

，

a

的数量积结合向量的运算得到

m

，

n

的数量积，进一步求其夹角．

解答： 解：因为

m

，

n

是空间两个单位向量，且

m

•

n

＞0，设向量

a

=2

m

+

n

，

b

=-3

m

+2

n

，且＜

b

，

a

＞=

2π

3

，
所以

a

•

b

=（2

m

+

n

）（-3

m

+2

n

）=-6

m

²+2

n

²-

m

•

n

=-4-cos＜

m

，

n

＞，
其中|

a

|²=|2

m

+

n

|²=4

m

²+

n

²+4cos＜

m

，

n

＞=5+4cos＜

m

，

n

＞，|

b

|²=（-3

m

+2

n

）²=13-12cos＜

m

，

n

＞，
所以（5+4cos＜

m

，

n

＞）（13-12cos＜

m

，

n

＞）=4（-4-cos＜

m

，

n

＞）²，解得cos＜

m

，

n

＞=-

1

2

，所以＜

m

，

n

＞=

2π

3

．
故答案为：

2π

3

．

点评：本题考查了向量的数量积定义及其运算性质，属于基础题．