Question

已知函数f（x）=

3x+1

x+2

．
（Ⅰ）判断函数在区间[1，+∞）上的单调性，并用定义证明你的结论；
（Ⅱ）求该函数在区间[1，5]上的最大值和最小值．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数单调性的性质

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）可将原函数变成f（x）=3-

5

x+1

，根据单调性的定义，通过该函数解析式即可判断函数f（x）在[1，+∞）上为增函数．可利用求函数导数，判断导数符号的方法来证明该结论；
（Ⅱ）由（Ⅰ）即知f（x）在[1，5]上单调递增，所以最大值f（5），最小值f（1）．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）在[1，+∞）上是增函数，证明：f′（x）=

5

(x+2)2

＞0；
∴f（x）在[1，+∞）上为增函数；
（Ⅱ） 由（Ⅰ）知f（x）在[1，5]上单调递增；
∴此时，f（x）的最大值为f（5）=

16

7

，最小值为f（1）=

4

3

．

点评：考察通过解析式的形式及单调性的定义判断函数单调性的方法，以及利用导数证明函数单调性的方法，以及根据函数单调性求函数的最值．