Question

已知双曲线

x2

9

-

y2

b

=1，过其右焦点F的直线（斜率存在）交双曲线于P、Q两点，PQ的垂直平分线交x轴于点M，且

|MF|

|PQ|

=

5

6

，则该双曲线的离心率为（　　）

• A、

  6

  5

• B、

  8

  5

• C、

  5

  4

• D、

  5

  3

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：依题意，不妨设过其右焦点F的直线的斜率为1，利用弦长公式可求得可求得|PQ|，继而可求得PQ的垂直平分线方程，令x=0可求得点M的横坐标，从而使问题解决．

解答： 解：∵双曲线

x2

9

-

y2

b

=1，
∴其右焦点F（c，0），不妨设过其右焦点F的直线的斜率为1，
依题意，直线PQ的方程为：y=x-c．
代入双曲线方程，得：（b-9）x²+18cx+9c²-9b=0，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则x₁，x₂为方程（b-9）x²+18cx+9c²-9b=0的两根，
∴x₁+x₂=-

18c

b-9

，y₁+y₂=（x₁+c）+（x₂+c）=x₁+x₂-2c=

2bc

9-b

，
又x₁x₂=

9c2-9b

b-9

，则弦长|PQ|=

1+1

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

2

•

( 18c b-9 )2- 36c2-36b b-9

①
∴线段PQ的中点N（

9c

9-b

，

bc

9-b

），
∴PQ的垂直平分线方程为y-

bc

9-b

=-（x-

9c

9-b

），
令y=0得：x=

9c+bc

9-b

．又右焦点F（c，0），
∴|MF|=|c-

9c+bc

9-b

|=|

2bc

9-b

|．②
由于

|MF|

|PQ|

=

5

6

，则由①②解得，

c

b

=

5

16

，
又c²=9+b，解得，c=5，
则双曲线的离心率e=

c

a

=

5

3

．
故选D．

点评：本题考查双曲线的方程和性质，考查直线与圆锥曲线的相交问题，考查韦达定理的应用与直线方程的求法，综合性强，具有一定的运算量．