题目内容
已知A、B、C是直线l上的三点，向量
，
，
满足
=m2
+n2
，则
+
的取值范围是 ．
| OA |
| OB |
| OC |
| OA |
| OB |
| OC |
| m2 |
| 1+n2 |
| n2 |
| 1+m2 |
考点：平面向量的基本定理及其意义
专题：平面向量及应用
分析：先根据题意得出m2+n2=1，从而
+
=2（
+
）-2，令sinα=m，cosα=n，令y=2（
+
）-2，通过三角函数的性质，从而得出答案．
| m2 |
| 1+n2 |
| n2 |
| 1+m2 |
| 1 |
| 1+n2 |
| 1 |
| 1+m2 |
| 1 |
| 1+n2 |
| 1 |
| 1+m2 |
解答：
解：∵A、B、C是直线l上的三点，
向量
，
，
满足
=m2
+n2
，
∴m2+n2=1，
∴
+
=
+
=2（
+
）-2，
令sinα=m，cosα=n，令y=2（
+
）-2，
∴y=2（
+
）-2
=2•
-2
=
-2，
当sin2α=1时，y=
，当sin2α=-1时，y=
，
∴
≤y≤
，
故答案为：[
，
]．
向量
| OA |
| OB |
| OC |
| OA |
| OB |
| OC |
∴m2+n2=1，
∴
| m2 |
| 1+n2 |
| n2 |
| 1+m2 |
| 2-(1+n2) |
| 1+n2 |
| 2-(1+m2) |
| 1+m2 |
| 1 |
| 1+n2 |
| 1 |
| 1+m2 |
令sinα=m，cosα=n，令y=2（
| 1 |
| 1+n2 |
| 1 |
| 1+m2 |
∴y=2（
| 1 |
| 1+cos2α |
| 1 |
| 1+sin2α |
=2•
| 1+sin2α+1+cos2α |
| (1+sin2α)(1+cos2α) |
=
| 6 | ||
2+
|
当sin2α=1时，y=
| 2 |
| 3 |
| 10 |
| 7 |
∴
| 2 |
| 3 |
| 10 |
| 7 |
故答案为：[
| 2 |
| 3 |
| 10 |
| 7 |
点评：本题考查了平面向量基本定理，考查转化思想，考查三角函数的性质，是一道中档题．
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