Question

如图，△ABC内接于圆O，AB是圆O的直径，AB=2，BC=1，DC=

3

，四边形DCBE为平行四边形，DC⊥平面ABC，
（1）求三棱锥C-ABE的体积；
（2）证明：平面ACD⊥平面ADE；
（3）在CD上是否存在一点M，使得MO∥平面ADE？证明你的结论．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）根据图形可看出，三棱锥C-ABE的体积等于三棱锥E-ABC，容易得出BE⊥平面ABC，即BE是三棱锥E-ABC的高．并且容易知道底面△ABC是直角三角形，根据已知的边的长度即可求△ABC的面积，高BE=

3

，所以根据三棱锥的体积公式即可求出三棱锥E-ABC的体积，也就求出了三棱锥C-ABE的体积；
（2）根据已知条件容易证明BC⊥平面ACD，又DE∥BC，所以DE⊥平面ACD，DE?平面ADE，∴平面ACD⊥平面ADE；
（3）要找M点使MO∥平面ADE，只要找OM所在平面，使这个平面和平面ADE平行，容易发现这个平面是：分别取DC，EB中点M，N，连接OM，MN．ON，则平面MON便是所找平面，容易证明该平面与平面ADE平行，所以MO∥平面ADE．

解答： 解：（1）如图，根据图形知道，三棱锥C-ABE的体积等于三棱锥E-ABC的体积；
∵四边形DCBE为平行四边形，∴EB∥DC，又DC⊥平面ABC，∴EB⊥平面ABC；
AB是圆O的直径，∴∠ACB=90°，AC=

4-1

=

3

，BE=

3

；
∴V三棱锥C-ABE=V三棱锥E-ABC=

1

3

•

1

2

•

3

•1•

3

=

1

2

；
（2）DC⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴DC⊥BC，⊥即BC⊥DC，又BC⊥AC，DC∩AC=C；
∴BC⊥平面ACD，DE∥BC；
∴DE⊥平面ACD，DE?平面ADE；
∴平面ADE⊥平面ACD，即平面ACD⊥平面ADE；
（3）在CD上存在一点M，是CD的中点，使得MO∥平面ADE，下面给出证明；
证明：取DC中点M，EB中点N，连接OM，MN，ON，∵O，M，N三点是中点，∴MN∥DE，ON∥AE；
∵AE，DE?平面ADE，ON，MN?平面ADE；
∴MN∥平面ADE，ON∥平面ADE，MN∩ON=N；
∴平面MON∥平面ADE，MO?平面MON；
∴MO∥平面ADE；

点评：考查三棱锥的体积公式，线面垂直的性质，线面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理，中位线的性质，线面平行的判定定理，面面平行的判定定理，面面平行的性质．